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IT技術を分かりやすく簡潔にまとめることによる学習の効率化、また日常の気付きを記録に残すことを目指します。

機械学習 (Machine Learning)

ディープラーニング入門でニューラルネットワークを用いてAND回路を学習させるプログラムをJavaで作成

投稿日:2019年12月5日 更新日:

ニューラルネットワークでAND回路を学習させるJavaプログラムを作成したので、その解説を行います。

(0)目次&概説

(1) ニューラルネットワークの概要
 (1-1) ニューラルネットワークとは?
 (1-2) ニューラルネットワークの情報伝達の流れは?
 (1-3) ディープラーニングとは?
(2) モデル化&計算方法
 (2-1) モデル化
 (2-2) 計算手法
 (2-3) アウトプットイメージ
(3) プログラミング
 (3-1) サンプルコード
 (3-2) サンプルコード解説
  (3-2-1) 解説1
  (3-2-2) 解説2
  (3-2-3) 解説3
  (3-2-4) 解説4
(4) 結果と考察
 (4-1) 答え合わせの方法
 (4-2) グラフにより可視化

(1) ニューラルネットワークの概要

 

(1-1) ニューラルネットワークとは?

ニューラルネットワークとは、人工知能分野のアルゴリズムの一つで、「人間の脳」をモデルにしています。人間の脳もニューロンと呼ばれる神経細胞のネットワークから成っており、ニューロン同士で電気信号による情報の伝達が行われています。

(図1)

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(1-2) ニューラルネットワークの情報伝達の流れは?

(図1)のようにニューロンは他のニューロンから入力信号(x)を受け取ると、それに重み(w)を乗じて次のニューロンに渡します。次のニューロンには複数のニューロンからの信号が届きますが、その合計がある閾値を超えた場合、発火してまた次のニューロンに信号を送ります。

(図2)

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(1-3) ディープラーニングとは?

ディープラーニングとは上記のニューロン間の結合を深い階層構造に発展させてモデル化したニューラルネットワークを指します。

(図3)

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(2) モデル化&計算方法

ニューラルネットワークのモデルを用いて「AND回路」を学習させ、その学習の結果を用いて入力データが「発火するか?しないか?」を決定する境界線を算出するプログラムをJavaで実装します。まずは回路をモデル化し、各値の計算方法を確認していきます。

(2-1) モデル化

ニューラルネットワークの入力を\(x_{1}\)・\(x_{2}\)、重みを\(w_{1}\)・\(w_{2}\)、発火の閾値を\( \theta \)とすると、ニューロンの発火の式は次のように表現できます。

$$ w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}-\theta \geq 0\\\\
$$
また最終的に受け取る電気信号(出力)をyとすると次の2通りで表現されます。
$$ y = 1\ (w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}-\theta \geq 0)\\\\
y = 0\ (w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}-\theta < 0)\\\\
$$

★図を挿入

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(2-2) 計算手法

(2-2-1) \(w_{1}\)、\(w_{2}\)、\(\theta\)の初期値を決定

まずは\(w_{1}\)、\(w_{2}\)、\(\theta\)の初期値を決定します。今回の例では次のように置きます。

$$w_{1}=0 、 w_{2}=0、 \theta=0$$

(2-2-2) \(y\)の値を計算

上記で決めた\(w_{1}\)、\(w_{2}\)、\( \theta \)の初期値を用いて\(y\)の値を計算します。

$$
y = 1\ (w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}-\theta \geq 0)\\\\
y = 0\ (w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}-\theta < 0)\\\\
$$
\(y\)の値を求める時に利用する\(x_{1}\)と\(x_{2}\)の値は次のように決定します。

(表1)

count x1 x2 t
1 0 0 0
2 0 1 0
3 1 0 0
4 1 1 1
5 0 0 0
6 0 1 0
7 1 0 0
8 1 1 1








ご覧の通り、AND回路の4つの入出力パターンを順番に繰り返しています。なので1回目の計算では\(x_{1}=0\)、\(x_{2}=0\)、\(t=0\)を使用します。count=4まで到達したら、また再び\(x_{1}=0\)、\(x_{2}=0\)、\(t=0\)に戻り、以降それをずっと繰り返していきます。

ちなみに\(t\)は「出力の正解値」と表現する文字で、ある入力\(x_{1}=0\)と\(x_{2}=0\)の組み合わせに対して計算した電気信号\(y\)と、その入力組合せにおける正解の出力\(t\)との差分を利用して修正量の計算し、次の学習に繋げて行く事で、正解\(t\)と計算結果\(y\)の乖離が段々と小さくなっていきます。

(2-2-3) \(\Delta w_{1}\)、\(\Delta w_{2}\)、\(\Delta\theta\)の値を計算

\(y\)の値が計算できたら、そこから\(\Delta w_{1}\)、\(\Delta w_{2}\)、\(\Delta\theta\)を次の式を用いて計算します。
$$
\Delta w_{1}=(t-y)x_{1}\\\\
\Delta w_{2}=(t-y)x_{2}\\\\
\Delta\theta=(y-t)\theta
$$
最後に、求めた\(\Delta w_{1}\)、\(\Delta w_{2}\)、\(\Delta\theta\)の値を用いて\(w_{1}\)、\(w_{2}\)、\(\theta\)の値を更新します。 $$ w_{1}^{n+1}=w_{1}^{n} +\Delta w_{1}\\\\
w_{2}^{n+1}=w_{2}^{n}+\Delta w_{2}\\\\
\theta^{n+1}=\theta^{n}+\Delta\theta
$$
ここで求めた\(w_{1}\)、\(w_{2}\)、\(\theta\)の値を次の値のインプットにして、再び最初の計算手順に戻り、次の\(y\)の値を計算します。\(x_{1}\)、\(x_{2}\)、\(t\)についてはAND回路の入出力の表に沿って、2回目の計算では\(x_{1}=0\)、\(x_{2}=1\)、\(t=0\)を使います。

イメージしやすいように、実際の計算結果は次のようになります。

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(2-3) アウトプットイメージ

上記での各回の学習について学習結果の(\(w_{1}, w_{2}, \theta\))の値を次の式に代入し、\(x_{1}\)と\(x_{2}\)に関する直線の式として表現します。
$$ w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}-\theta = 0\\\\ $$ $$ x_{2} = \frac {-w_{1}x_{1}+\theta}{w_{2}}\\\\ $$

それをグラフとしてプロットしていき、最終的に収束する直線がAND回路が「発火するか?、しないか?」を分ける境界線になっている事を確認します。

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(3) プログラミング

(3-1) サンプルコード

サンプルコードを紹介します。

/*******************************************/
/* ニューラルネットワークを用いたAND回路の学習
/* Coded by : Rainbow Engine
/*******************************************/
public class DeepLearn_AndGate {
	public static void main(String args[]) {
		
		//@@@ 解説1 @@@//
		int N=4;
		int x1[]=new int[N];
		int x2[]=new int[N];
		int t[]=new int[N];
			x1[0]=0; x2[0]=0; t[0]=0;
			x1[1]=0; x2[1]=1; t[1]=0;
			x1[2]=1; x2[2]=0; t[2]=0;
			x1[3]=1; x2[3]=1; t[3]=1;
		int w1=0, w2=0, theta=0;	//Set as default test Value
		int y=0;
		int dw1=0, dw2=0, dtheta=0;
		int counter=0;
		boolean flg[] = new boolean[4];
		for(int i=0; i<N; i++) { flg[i]=false; }
		
		//@@@ 解説2 @@@//
		while(flg[0]==false || flg[1]==false || flg[2]==false || flg[3]==false) {
			//@@@ 解説3 @@@//
			for(int i=0; i<N; i++) { flg[i]=false; }
			
			//@@@ 解説4 @@@//
			for(int i=0; i<N; i++) {

				//1.Update the variables
				w1=w1+dw1;      w2=w2+dw2;      theta=theta+dtheta;

				//2.Caluculate x1*w1+x2*w2-theta & decide y
				if( (x1[i]*w1+x2[i]*w2-theta)>=0 ) {y=1;}
				else{y=0;}

				//3.Calculate dw1,dw2,dtheta
				dw1=(t[i]-y)*x1[i];   dw2=(t[i]-y)*x2[i];   dtheta=(y-t[i]);

				//4.Check the result
				if(dw1==0 && dw2==0 && dtheta==0) {
						flg[i]=true;
				}
				//@@@ 解説5 @@@//
				System.out.println("No: "+(counter+1)+"  x1=["+x1[i]+"]  x2=["+x2[i]+"]  t=["+t[i]+"]  w1=["+w1+"]  w2=["+w2+"]  theta=["+theta+"]  y=["+y+"]  t-y=["+(t[i]-y)+"]  dw1=["+dw1+"]  dw2=["+dw2+"]  dtheta=["+dtheta+"]  tr1=["+flg[0]+"]  tr2=["+flg[1]+"]  tr3=["+flg[2]+"]  tr4=["+flg[3]+"]");
				counter++;
			}
		}
		System.out.println("Result : "+w1+"*(x1)+"+w2+"*(x2)-"+theta+"=0");
	}
}

<実行結果のサンプル>

No: 1  x1=[0]  x2=[0]  t=[0]  w1=[0]  w2=[0]  theta=[0]  y=[1]  t-y=[-1]  dw1=[0]  dw2=[0]  dtheta=[1]  tr1=[false]  tr2=[false]  tr3=[false]  tr4=[false]
No: 2  x1=[0]  x2=[1]  t=[0]  w1=[0]  w2=[0]  theta=[1]  y=[0]  t-y=[0]  dw1=[0]  dw2=[0]  dtheta=[0]  tr1=[false]  tr2=[true]  tr3=[false]  tr4=[false]
No: 3  x1=[1]  x2=[0]  t=[0]  w1=[0]  w2=[0]  theta=[1]  y=[0]  t-y=[0]  dw1=[0]  dw2=[0]  dtheta=[0]  tr1=[false]  tr2=[true]  tr3=[true]  tr4=[false]
No: 4  x1=[1]  x2=[1]  t=[1]  w1=[0]  w2=[0]  theta=[1]  y=[0]  t-y=[1]  dw1=[1]  dw2=[1]  dtheta=[-1]  tr1=[false]  tr2=[true]  tr3=[true]  tr4=[false]
No: 5  x1=[0]  x2=[0]  t=[0]  w1=[1]  w2=[1]  theta=[0]  y=[1]  t-y=[-1]  dw1=[0]  dw2=[0]  dtheta=[1]  tr1=[false]  tr2=[false]  tr3=[false]  tr4=[false]
No: 6  x1=[0]  x2=[1]  t=[0]  w1=[1]  w2=[1]  theta=[1]  y=[1]  t-y=[-1]  dw1=[0]  dw2=[-1]  dtheta=[1]  tr1=[false]  tr2=[false]  tr3=[false]  tr4=[false]
No: 7  x1=[1]  x2=[0]  t=[0]  w1=[1]  w2=[0]  theta=[2]  y=[0]  t-y=[0]  dw1=[0]  dw2=[0]  dtheta=[0]  tr1=[false]  tr2=[false]  tr3=[true]  tr4=[false]
No: 8  x1=[1]  x2=[1]  t=[1]  w1=[1]  w2=[0]  theta=[2]  y=[0]  t-y=[1]  dw1=[1]  dw2=[1]  dtheta=[-1]  tr1=[false]  tr2=[false]  tr3=[true]  tr4=[false]
No: 9  x1=[0]  x2=[0]  t=[0]  w1=[2]  w2=[1]  theta=[1]  y=[0]  t-y=[0]  dw1=[0]  dw2=[0]  dtheta=[0]  tr1=[true]  tr2=[false]  tr3=[false]  tr4=[false]
No: 10  x1=[0]  x2=[1]  t=[0]  w1=[2]  w2=[1]  theta=[1]  y=[1]  t-y=[-1]  dw1=[0]  dw2=[-1]  dtheta=[1]  tr1=[true]  tr2=[false]  tr3=[false]  tr4=[false]
No: 11  x1=[1]  x2=[0]  t=[0]  w1=[2]  w2=[0]  theta=[2]  y=[1]  t-y=[-1]  dw1=[-1]  dw2=[0]  dtheta=[1]  tr1=[true]  tr2=[false]  tr3=[false]  tr4=[false]
No: 12  x1=[1]  x2=[1]  t=[1]  w1=[1]  w2=[0]  theta=[3]  y=[0]  t-y=[1]  dw1=[1]  dw2=[1]  dtheta=[-1]  tr1=[true]  tr2=[false]  tr3=[false]  tr4=[false]
No: 13  x1=[0]  x2=[0]  t=[0]  w1=[2]  w2=[1]  theta=[2]  y=[0]  t-y=[0]  dw1=[0]  dw2=[0]  dtheta=[0]  tr1=[true]  tr2=[false]  tr3=[false]  tr4=[false]
No: 14  x1=[0]  x2=[1]  t=[0]  w1=[2]  w2=[1]  theta=[2]  y=[0]  t-y=[0]  dw1=[0]  dw2=[0]  dtheta=[0]  tr1=[true]  tr2=[true]  tr3=[false]  tr4=[false]
No: 15  x1=[1]  x2=[0]  t=[0]  w1=[2]  w2=[1]  theta=[2]  y=[1]  t-y=[-1]  dw1=[-1]  dw2=[0]  dtheta=[1]  tr1=[true]  tr2=[true]  tr3=[false]  tr4=[false]
No: 16  x1=[1]  x2=[1]  t=[1]  w1=[1]  w2=[1]  theta=[3]  y=[0]  t-y=[1]  dw1=[1]  dw2=[1]  dtheta=[-1]  tr1=[true]  tr2=[true]  tr3=[false]  tr4=[false]
No: 17  x1=[0]  x2=[0]  t=[0]  w1=[2]  w2=[2]  theta=[2]  y=[0]  t-y=[0]  dw1=[0]  dw2=[0]  dtheta=[0]  tr1=[true]  tr2=[false]  tr3=[false]  tr4=[false]
No: 18  x1=[0]  x2=[1]  t=[0]  w1=[2]  w2=[2]  theta=[2]  y=[1]  t-y=[-1]  dw1=[0]  dw2=[-1]  dtheta=[1]  tr1=[true]  tr2=[false]  tr3=[false]  tr4=[false]
No: 19  x1=[1]  x2=[0]  t=[0]  w1=[2]  w2=[1]  theta=[3]  y=[0]  t-y=[0]  dw1=[0]  dw2=[0]  dtheta=[0]  tr1=[true]  tr2=[false]  tr3=[true]  tr4=[false]
No: 20  x1=[1]  x2=[1]  t=[1]  w1=[2]  w2=[1]  theta=[3]  y=[1]  t-y=[0]  dw1=[0]  dw2=[0]  dtheta=[0]  tr1=[true]  tr2=[false]  tr3=[true]  tr4=[true]
No: 21  x1=[0]  x2=[0]  t=[0]  w1=[2]  w2=[1]  theta=[3]  y=[0]  t-y=[0]  dw1=[0]  dw2=[0]  dtheta=[0]  tr1=[true]  tr2=[false]  tr3=[false]  tr4=[false]
No: 22  x1=[0]  x2=[1]  t=[0]  w1=[2]  w2=[1]  theta=[3]  y=[0]  t-y=[0]  dw1=[0]  dw2=[0]  dtheta=[0]  tr1=[true]  tr2=[true]  tr3=[false]  tr4=[false]
No: 23  x1=[1]  x2=[0]  t=[0]  w1=[2]  w2=[1]  theta=[3]  y=[0]  t-y=[0]  dw1=[0]  dw2=[0]  dtheta=[0]  tr1=[true]  tr2=[true]  tr3=[true]  tr4=[false]
No: 24  x1=[1]  x2=[1]  t=[1]  w1=[2]  w2=[1]  theta=[3]  y=[1]  t-y=[0]  dw1=[0]  dw2=[0]  dtheta=[0]  tr1=[true]  tr2=[true]  tr3=[true]  tr4=[true]
Result : 2*(x1)+1*(x2)-3=0

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(3-2) サンプルコード解説

(3-2-1) 解説1

サンプルPGの「//@@@ 解説1 @@@//」では変数の定義を行っています。

//@@@ 解説1 @@@//
int N=4;
int x1[]=new int[N];
int x2[]=new int[N];
int t[]=new int[N];
	x1[0]=0; x2[0]=0; t[0]=0;
	x1[1]=0; x2[1]=1; t[1]=0;
	x1[2]=1; x2[2]=0; t[2]=0;
	x1[3]=1; x2[3]=1; t[3]=1;
int w1=0, w2=0, theta=0;	//Set as default test Value
int y=0;
int dw1=0, dw2=0, dtheta=0;
int counter=0;
boolean flg[] = new boolean[4];
for(int i=0; i<N; i++) { flg[i]=false; }
変数名 説明
N テストデータの個数(AND回路の入力が4通りのため)
x1[N], x2[N] 入力ニューロン#1,#2の電気信号。
テストデータの個数(N=4)だけ入力のパターンを用意します。
t[N] 出力yの正解値。
こちらも入力と同様、テストデータの個数(N=4)だけ入力のパターンを用意します。
w1,w2 入力ニューロン#1,#2の重み
theta ニューロンが発火する閾値θ(ニューロンは発火すると、また次のニューロンへ情報を伝達する)
y 出力(入力ニューロンから得られる電気信号)
dw1,dw2 誤り訂正法による「w1」、「w2」の修正量(Δw1、Δw2)
dtheta 誤り訂正法による「theta」の修正量(Δθ)
flag[N] 完了条件を判定するためのフラグです。N=4パターンあり、それぞれがAND回路の4つの入力タイプに対応しています([0,0]、[0,1]、[1,0]、[1,1])。

 

(3-2-2) 解説2

サンプルPGの「//@@@ 解説2 @@@//」ではループの終了条件の定義を行っており「AND回路の4パターンの入力データ([0,0]、[0,1]、 [1,0]、[1,1])の全てに対して、修正量(dw1,dw2,dθ)が0になる事」です。
今回は4パターンの入力それぞれに対してboolean型のフラグを割り当てて「4つの条件のうち、どれか一つでも修正量が0でない(false)」ならば、ループを続行するという条件にしています。

変数名 AND回路の入力 AND回路の期待する出力(t)
flag1 [0,0] [0]
flag2 [0,1] [0]
flag3 [1,0] [0]
flag4 [1,1] [1]

 

 //@@@ 解説2 @@@//
 while(flg[0]==false || flg[1]==false || flg[2]==false || flg[3]==false) {

目次にもどる

(3-2-3) 解説3

サンプルPGの「//@@@ 解説3 @@@//」ではループの開始時に一旦、4つのフラグを全てfalse(修正量が0でない)にします。この後にforループで4パターンのそれぞれの入力を順番に見ていき、修正量(dw1,dw2,dθ)が全て0なら、該当の入力のフラグをtrue(修正量0)に更新します。

//@@@ 解説3 @@@//
for(int i=0; i<N; i++) { flg[i]=false; }

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(3-2-4) 解説4

4パターンの入力データ([0,0]、[0,1]、 [1,0]、[1,1])をforループで回し、それぞれについて誤り修正法を適用していきます。ループの中は次の4つの処理から成り立っています。

1. Update the variables
x1, x2, tを初期化し、重みw1,w2と閾値thetaを計算する
$$
w_{1}^{n+1}=w_{1}^{n} +\Delta w_{1}\\\\
w_{2}^{n+1}=w_{2}^{n}+\Delta w_{2}\\\\
\theta^{n+1}=\theta^{n}+\Delta\theta
$$
2. Caluculate x1*w1+x2*w2-theta & decide y
計算した各値を元に(x1*w1+x2*w2-theta)を算出し、0より大きいか否かでyを決定する。
$$
w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}-\theta
$$
3. Calculate dw1,dw2,dtheta
dw1,dw2,dθの値を計算しています。
$$
\Delta w_{1}=(t-y)x_{1}\\\\
\Delta w_{2}=(t-y)x_{2}\\\\
\Delta\theta=(y-t)\theta
$$

4. Check the result
dw1,dw2,dθが0かどうかチェックし、フラグの更新処理をしています。

//@@@ 解説4 @@@//
for(int i=0; i<N; i++) {

	//1.Update the variables
	w1=w1+dw1;      w2=w2+dw2;      theta=theta+dtheta;

	//2.Caluculate x1*w1+x2*w2-theta & decide y
	if( (x1[i]*w1+x2[i]*w2-theta)>=0 ) {y=1;}
	else{y=0;}

	//3.Calculate dw1,dw2,dtheta
	dw1=(t[i]-y)*x1[i];   dw2=(t[i]-y)*x2[i];   dtheta=(y-t[i]);

	//4.Check the result
	if(dw1==0 && dw2==0 && dtheta==0) {
			flg[i]=true;
	}

ちなみに「③dw1,dw2,dθの値を計算」について、Δで増加させるか?減少させるか?はおおよそ以下の方針で判断をしています。

1.正解(t)-回答(y) > 0の場合

例えばt=1でy=0の場合など「入力が小さ過ぎる」or「閾値が大き過ぎる」事が原因のため、「wを大きくする」or「θを小さくする」よう、下記のように修正する。

2.正解(t)-回答(y) < 0の場合
例えばt=0でy=1の場合など「入力が大き過ぎる」or「閾値が小さ過ぎる」事が原因のため、「wを小さくする」or「θを大きくする」よう、下記のように修正する。

目次にもどる

(3-2-5) 解説5

次に示す行はデバッグのための出力であり、処理ロジックとは関係ありません。

//@@@ 解説5 @@@//
System.out.println("No: "+(counter+1)+"  x1=["+x1[i]+"]  x2=["+x2[i]+"]  t=["+t[i]+"]  w1=["+w1+"]  w2=["+w2+"]  theta=["+theta+"]  y=["+y+"]  t-y=["+(t[i]-y)+"]  dw1=["+dw1+"]  dw2=["+dw2+"]  dtheta=["+dtheta+"]  tr1=["+flg[0]+"]  tr2=["+flg[1]+"]  tr3=["+flg[2]+"]  tr4=["+flg[3]+"]");
counter++;

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(4) 結果と考察

(4-1) 答え合わせの方法

答え合わせをするために、事前にエクセルでも同じ計算を実施しており、プログラムの結果とエクセルの結果を比較しています。

    N x   t w   θ y Δw   Δθ
cnt エポック   x1 x2   w1 w2     Δwa Δwb  
1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
2 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
3 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
4 1 3 1 1 1 0 0 1 0 1 1 -1
5 2 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1
6 2 1 0 1 0 1 1 1 1 0 -1 1
7 2 2 1 0 0 1 0 2 0 0 0 0
8 2 3 1 1 1 1 0 2 0 1 1 -1
9 3 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 0
10 3 1 0 1 0 2 1 1 1 0 -1 1
11 3 2 1 0 0 2 0 2 1 -1 0 1
12 3 3 1 1 1 1 0 3 0 1 1 -1
13 4 0 0 0 0 2 1 2 0 0 0 0
14 4 1 0 1 0 2 1 2 0 0 0 0
15 4 2 1 0 0 2 1 2 1 -1 0 1
16 4 3 1 1 1 1 1 3 0 1 1 -1
17 5 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0
18 5 1 0 1 0 2 2 2 1 0 -1 1
19 5 2 1 0 0 2 1 3 0 0 0 0
20 5 3 1 1 1 2 1 3 1 0 0 0
21 6 0 0 0 0 2 1 3 0 0 0 0
22 6 1 0 1 0 2 1 3 0 0 0 0
23 6 2 1 0 0 2 1 3 0 0 0 0
24 6 3 1 1 1 2 1 3 1 0 0 0

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(4-2) グラフにより可視化

また、各繰り返し時点でのw1, w2, θの結果を踏まえて数式のグラフを書いていく事で、繰り返していく毎に収束に向かっていく様子を見る事が出来ます。

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