＜目次＞
(１) 確率と尤度の違いとは？概念や数式なども交えて比較紹介
(１-１) 確率：「パラメータ」からデータの「確率」を算出した値？
(１-２) 尤度：「データ」からパラメータの「尤もらしさ」を算出した値
(１-３) 確率と尤度の違い
(１) 確率と尤度の違いとは？概念や数式なども交えて比較紹介
本記事では混乱しがちな概念である「確率」と「尤度」について、それぞれの特徴や違いなどをご紹介します。
(１-１) 確率：「パラメータ」からデータの「確率」を算出した値
●確率の概要（正規分布の例）
・「分布（distribution）」が与えられており、それに対して「データ」（例：身長、体重）の「発生確率」を求めること。
P([データx1] | [分布パラメータμ,σ])
（図１１１）
（例）正規分布（例：平均値μ＝170cm、標準偏差σ＝2.5）から、身長が172.5cm以上＆175cm未満である確率を求める
↓
これを数式で表現すると次のようになります。
P(身長≧172.5cm, 身長<175cm | μ＝170cm,σ＝3.5)
真ん中の縦棒（A|B）は「条件付き確率」で「Bが起こった時に、Aが起こる確率」という意味です。
この場合、パラメータ：平均値μ＝170cm、標準偏差σ＝3.5の場合に、データ条件：172.5cm以上＆175cm未満である確率。
→このとき、右側（平均値μ、標準偏差σ）は固定で、左側（172.5cm以上＆175cm未満）は可変
（図１１２）右側は分布の形を司る
（図１１３）左側は対象データの曲線配下における領域（≒確率）
●確率の数学的な説明と計算式
・数学的には「確率密度関数（probability density function）」に「パラメータ（例：平均値μ＝170cm、標準偏差σ＝3.5）」を代入したもの。
（図１１４）
です。このとき「Pr(x | μ,σ)」は確率密度関数です。
確率密度関数は「確率変数」（≒出る確率が決まっている値）がある値をとる場合の「確率密度」（相対的な出やすさ）を表す関数。「密度」と書かれているのは、X方向の範囲（例：a<x<b）を指定する事で、初めて「確率」が求まる（a<x<bの範囲の曲線の面積）が求まるから。
（図１１３）左側は対象データの曲線配下における領域（≒確率）
(１-２) 尤度：「データ」からパラメータの「尤もらしさ」を算出した値
●尤度の概要（正規分布の例）
・「データ」（例：身長、体重）に対して「分布（distribution）」の「尤もらしさ」のこと。
→数学的には尤度関数（平均μ・標準偏差σは片方固定＆もう片方は変数扱い）に計測データxを代入した際のy軸の値である
（図１２１）
⇒μやσが変化させてグラフが移動する際、データ群とグラフが一致するか？を確認するイメージ（データが密集する所が曲線の最大になっているか？全部のデータを総合して尤もらしいか？⇒総乗計算で検証）
（例）身長のデータ条件（172.5cm）から、正規分布（例：平均値μ＝170cm、標準偏差σ＝2.5）の尤もらしさを計測する（仮定した正規分布がデータに対応するものか？の確からしさ）
↓
これを数式で表現すると次のようになります。
（確率の時と条件が左右逆になっている）
L(μ＝170cm,σ＝3.5 | 身長＝172.5cm)
真ん中の縦棒（A|B）は「条件付き確率」で「Bが起こった時に、Aが起こる確率」という意味です。
この場合、データ条件：身長＝170cmの場合に、パラメータ：平均値μ＝170cm、標準偏差σ＝3.5の正規分布が、尤もらしいか？の度合い。
→このとき、右側（身長＝172.5cm）固定で、右側は（平均値μ、標準偏差σ）は可変です。
（図１２２）左側は分布の形を司る
（図１２３）右側は測定したデータの値
●尤度の数学的な説明と計算式
・数学的には「確率密度関数（probability density function）」に「確率変数（例：身長＝170cm）」の観測値を代入したもの。
（図１２４）
右辺の式そのものは、確率の式と同じであり、次のようにも表現できます。
L(μ,σ | x) = Pr(x | μ,σ)
尤度関数は数学的には確率密度変数「Pr(x | μ,σ)」と同じ式ですが、「確率」を求める際はμ,σを固定→xの確率を求めるのに対し、「尤度」を求める際はxを入力→最適なμ,σを求めるため、逆のような計算をするイメージになります。
(１-３) 確率と尤度の違い
確率：分布とパラメータをINPUTに、データの「確率」を算出したもの
尤度：分布とデータをINPUTに、パラメータの「尤もらしさ」を算出したもの
一方で、数学の図形的に見ると次のように言えます。
確率：分布（例：正規分布）を固定（μとσは固定）した際の、分布上のある範囲の面積（＝確率）
例：P(身長≧172.5cm, 身長<175cm | μ＝170cm,σ＝3.5)
尤度：データを固定（例：身長170cm）した際の、分布（例：正規分布）のy軸の値（＝尤度）
例：L(μ＝170cm,σ＝3.5 | 身長＝172.5cm)
（図１３１）
（備考①）
今回は「正規分布」の数式を例にご紹介しましたが、ここでご紹介した「確率」と「尤度」の考え方は全ての「連続確率分布」（例：ガンマ分布、ベータ分布など）にも同様に適用できる。
（図１３２）
（備考②）標準偏差σについて
正規分布の曲線の形を決めるパラメータです。値が小さいと緩やかで幅広に、値が大きいと急で細くなる。
（図１３３①）
（図１３４）
